視Profunctor為Hom functor的generalization [2323]

2026-08-12 · Lîm Tsú-thuàn

Profunctor的概念是一種跨越不同範疇的Hom functor的擴充，我們先看基本定義

Definition Profunctor [local-0]

A profunctor PP is a functor of the form

P:Cop×D→SetsP : C^{op} \times D \to \text{Sets}

這時候我們可以看到，重點在對於一個product category be functorial，這表示我們可以把 P(c,d)P(c, d) 視為一個擬似morphism！這句話的意思是對於 c′→cc' \to c 跟 d→d′d \to d'，我們可以視每個 P(c,d)P(c,d) 的元素為一個連接 cc 跟 dd 的morphism，只是它跨越不同範疇

figure tex6340

為什麼呢？因為對一個product category be functorial就是對兩個組成範疇be functorial，表示對於 f:c′→cf : c' \to c 我們有

P(f,−):P(c,−)→P(c′,−)P(f, -) : P(c, -) \to P(c', -)

對於 f:d→d′f : d \to d' 我們有

P(−,f):P(−,d)→P(−,d′)P(-, f) : P(-, d) \to P(-, d')

這完全滿足了Hom functor的需求，因此事實上我們可以更正式的說以下構造是一個範疇：

  1. 取 CC 與 DD 的objects為objects
  2. 取 CC 與 DD 的morphisms與所有 P(−,=)P(-, =) 的元素為morphisms

這又稱為a collage (or cograph) of two categories CC and DD