Proposition. natural transformation可以視為end [C07X]

2026-03-05 · Lîm Tsú-thuàn

令 C,DC, D 為category，而 F,G:C→DF, G : C \to D 為functor。則所有 F⇒GF \Rightarrow G 構成的the set of natural transformations [C,D](F,G)[C, D](F, G) 可以視為end

[C,D](F,G)=∫X∈CHomD(F(X),G(X))[C, D](F, G) = \int_{X \in C} \text{Hom}_D(F(X), G(X))

Proof [local-0]

利用coend對偶可以看出end應該長這樣：

figure tex8919

由於 HomC(F(−),G(=))\text{Hom}_C(F(-), G(=)) 可以視為profunctor，因此由universal property我們可以得到

figure tex8920

可是從集合 11 導出的這個大方塊就是naturality的定義，所以natural transformation確實是一個end

另一個證明方式是展開可以看到end的元素定義成的collection剛好就是一個natural transformation。參見 nlab