J-sheaf 的直覺 [LPLF]

$J$-sheaf 的概念有點難解，這個定義是在模擬從小的opens（局部）往大的opens（整體）前進的時候，每個在整體上的定義都可以分成局部的定義，而局部的定義黏起來會得到整體的定義這樣的匹配性，而且局部之間的交疊必須匹配。對於具體的sheaf，可以參考這裡

從topological space的opens構成的locale抽象化到category之後，我們就從opens變成操作objects；coverings變成sieves；在open $X$ 上定義的某類函數抽象化成presheaf，因為我們想讓框架適用於所有類型的函數，而且我們發現函數並不是必要的條件，我們只需要這些東西在某個意義上表現的像函數，因此presheaf僅僅是說，對於object $X$ 會有一個對應的集合，並且在morphism上我們contravariant（以符合幾何的直覺）。$J$-sheaf也因此等於在問，對於這樣抽象的 topology 與「函數」，什麽算是在交集處互相同意對方的值？

category中沒有交集的概念，sieve的composition closure確保了如果 $f \in S$，那任何composable $g$ 有 $f \circ g \in S$，這就取代了交集扮演的角色

我們把 $J$-sheaf的定義攤開來變成圖：對每個 $J$-covering sieve $S$ 的每個元素 $f$（它指出了一個更小的object）來說，都可以指定一個在更小的objects上定義的「函數」 $x_f$，而「函數」再往更小的地方切分的時候也依然跟 $P$ 互相協調，也就是條件 $P(g)(x_f) = x_{f \circ g}$，這樣我們就成功的用category的語言描述了局部函數在更細的切分下彼此吻合的概念

這張圖的下半部是 $\mathcal{C}$ 裡面的狀況 $X \leftarrow Y \leftarrow Z$，上半部是 $\text{Set}$ 裡面的狀況 ${\{ x_f \}} \to {\{ x_{f \circ g} \}}$。我用帶有圓圈的箭頭代表這些「函數定義在」object（open）上的概念

如果對每個滿足上述相容條件的family（即matching family），我們能夠確定整體上存在且只有唯一一個「函數」 $x \in P(X)$ 滿足這點的話，我們就說 $P$ 是一個 $J$-sheaf。這就是條件 $P(f)(x) = x_f$ 的意義