(2) ⇒ (1)：設 $x, y \in M$ 為相異兩點。由條件 (2)，存在開集 $U$ 使得 $x, y \in U$，且存在 $f \in \mathcal{O}_M(U)$ 使得 $f(x) \ne f(y)$。

令 $d = |f(y) - f(x)| > 0$。因為 $f$ 為 smooth 函數，存在 $x$ 的開鄰域 $V_x \subseteq U$ 使所有 $z \in V_x$，有 $|f(z) - f(x)| < \frac{d}{2}$。

同理，存在 $y$ 的開鄰域 $V_y \subseteq U$ 使得對所有 $w \in V_y$，有 $|f(w) - f(y)| < \frac{d}{2}$。於是我們知道 $V_x \cap V_y = \emptyset$，因為如果存在 $p \in V_x \cap V_y$，則：

為矛盾，也就是說不存在這種 $p$。因此 $M$ 為 Hausdorff 空間。

(1) ⇒ (2)：設 $x, y \in M$ 為相異兩點。因為 $M$ 為 Hausdorff 空間，存在不相交的開鄰域 $U \ni x$ 和 $V \ni y$ 使得 $U \cap V = \emptyset$。

因為 $M$ 為 premanifold，存在 open cover $(U_k)_{k \in K}$ 使得每個 $U_k$ 與某個 local ringed space 同構。因此存在 $U_i$ 和 $U_j$ 使得 $x \in U_i$ 且 $y \in U_j$。

考慮開集 $U_i \cap U$ 和 $U_j \cap V$。因為 $U \cap V = \emptyset$，我們有 $(U_i \cap U) \cap (U_j \cap V) = \emptyset$。

取 $x$ 的開鄰域 $V_x \subseteq U_i \cap U$ 及函數 $f \in \mathcal{O}_M(V_x)$ 使得 $f(x) = 0$（此函數對應於 stalk $\mathcal{O}_{M,x}$ 的 maximal ideal 中的元素）。同理，取 $y$ 的開鄰域 $V_y \subseteq U_j \cap V$ 及函數 $g \in \mathcal{O}_M(V_y)$ 使得 $g(y) \ne 0$（對應於 stalk $\mathcal{O}_{M,y}$ 中不在 maximal ideal 的元素）。

令 $W = V_x \cup V_y$，則 $W$ 為開集且 $x, y \in W$。因 $V_x$ 與 $V_y$ 不相交，可定義函數 $h \in \mathcal{O}_M(W)$，在 $V_x$ 上取 $h := f$，在 $V_y$ 上取 $h := g$。於是 $h(x) = f(x) = 0$ 而 $h(y) = g(y) \ne 0$，$W$ 與 $h$ 滿足條件 (2)。