所有有理數皆可表示為兩個整數的比值，形如 $\frac{p}{q}$ ，而無理數就是不能的那些，但是這個定義太含糊了，以至於許多年來數學家不願承認無理數是數字 用 $\frac{p}{q}$ 就能輕鬆證明 $\sqrt{2}$ 不是有理數，這裡就不贅述

有理數有兩個性質

• 稠密性(任意兩個有理數之間必然有無窮多個有理數)
• 不完備性(任意兩個有理數之間必然有無窮多個無理數，故而不能構成連續性，即不完備)

戴德金分割定義了一種形式，即我們可以在任何一點將有理數(集合 $Q$)分割為兩集合 $A$, $B$

1. $A \ne \varnothing$
2. $A \ne Q$
3. If $x, y \in Q$, $x < y$, and $y \in A$, then $x ∈ A$
4. If $x \in A$, $\exists y \in A$ such that $y > x$

1 和 2 非常直觀，你不能切出個什麼都沒有的集合，1 就是把 $A$ 都切沒了，反之 2 就是把 $B$ 切到一個不剩 3 有點難理解，這是什麼意思呢？這是在說 $A$ 是向下關閉(closed downwards)的，小於 $A$ 中元素的任意有理數元都比然屬於 $A$ 4 則是說明了一種情況為 $A$ 沒有最大的有理數存在 e.g. $A = \{x | x \in Q, x < 2\}$ 這裡 $x$ 到 $2$ 之間也會有無窮多有理數故沒有最大值

那麼我們可以推論出三種分割

1. $A$ 有最大元, $B$ 沒有最小元(即剛好分割於有理數且該有理數屬於 $A$)
2. $A$ 沒有最大元，$B$ 有最小元(即剛好分割於有理數且該有理數屬於 $B$)
3. $A$ 與 $B$ 皆沒有最大最小元(即分割於無理數上)

其中可以得出第三種分割點即為無理數

首先我們用 $0.\overline{\rm 9}$ 分割出集合 $A$, $B$ 用 1 分割出集合 $C$, $D$

顯而易見的是我們只要證明 $A \equiv C$ 即可

• 對所有 $a \in A, a < 0.\overline{\rm 9}, a < 1, a \in C$ (利用3，$0.\overline{\rm 9}$ 無論如何不大於 $1$ 故可推論 $a$ 至少小於 $1$)
• 令 $c \in C, c < 1$，其中 $c$ 可表示為 $\frac{p}{q}$，故 $1-\frac{p}{q} > 0$，且 $1-\frac{p}{q} \leq 1-\frac{1}{q}$，且必然可以找到 $n$ 符合形式 $\frac{1}{q} > (\frac{1}{10})^n$， 那麼 $1-\frac{p}{q} \leq 1-\frac{1}{q} < 1-(\frac{1}{10})^n < 0.\overline{\rm 9}$，即證明 $c \in A$

綜合即知 $A$ 就是 $C$，即 $0.\overline{\rm 9} = 1$