首先，用 $\exists x. x \vdash k$ 表示有哥德爾數為 $k$ 的公式在系統 $P$ 中得到證明，而 $x$ 是其演示

哥德爾有一段很長的論證（證明這是原始遞歸函數），來說明這是可以被 $P$ 表示的，這裡跳過了這部分論證。且這也是為什麼要求系統 $P$ 是具備算術能的，因為表示編碼需要自然數算術。

定義 $n = \lnot\exists x. x \vdash y[y/y]$，但 $y$ 是未知量，隨意給一個還沒被使用來編碼的數字即可，比如 $\overline{y}$。於是我們重寫成 $n =\lnot\exists x. x \vdash y[y/\overline{y}]$。

現在構造 $G = \lnot\exists x. x \vdash n[n/\overline{y}]$，求其哥德爾編碼 $\overline{G}$ 可以發現正是 $n[n/\overline{y}]$ 所表示的編碼，因為

因此用 $\overline{G}$ 替換 $G$ 中的 $n[n/\overline{y}]$，會得到

可以發現 $G$ 的後設含義正是「有哥德爾編碼為 $\overline{G}$ 的公式沒有系統 $P$ 中的證明」，然而

1. 假設 $G$ 可以在 $P$ 中證明為真，就告訴我們 $\overline{G}$ 對應的公式不存在任何演示可以於 $P$ 中證明，但那就是我們剛證明的公式 $G$。
2. 假設 $G$ 可以在 $P$ 中證明為否，就導出 $\overline{G}$ 對應的公式在 $P$ 中有演示，但那就是我們剛證否的公式 $G$。

綜合可知這意思就是 $G$ 可證，若且唯若 $G$ 可證否，是故承認 $G$ 就是承認 $P$ 不一致；反之，若 $P$ 一致則 $G$ 形式上就不可決定。