首先畫出交換圖

其中 $\delta$ 的定義是 $c \mapsto \langle c, c \rangle$，所以對 $1 \xrightarrow{p} A$ 來說 $\delta \circ p = \langle p, p \rangle$。沿著這個定義，我們知道 $(\phi \times 1_A) \circ \delta \circ p = \phi\circ \langle p, p\rangle$。根據 point-surjective 我們知道 $\phi \circ p$ 對每個 $p$ 來說都是唯一確定的。現在把往下方 $B$ 的 $ev$ 也畫出，即可得出等式：

換句話說 $B \xrightarrow{f} B$ 的不動點即是

If there exists $B \xrightarrow{f} B$ such that $f \circ b \ne b$ for all $1 \xrightarrow{b} B$, then there has no point-surjective morphism can exist for $A \xrightarrow{g} B^A$.

This is a reversed version of Lawvere's fixed point, no need an extra proof.

存在 $2 \xrightarrow{\text{not}} 2$ 令所有 $1 \xrightarrow{b} 2$ 都滿足 $\text{not} \circ b \ne b$，所以對任何集合 $A$ 都不存在 $A \to 2^A$ 的 point-surjective 函數，因此也不存在 $A \cong 2^A$。