• 我們有所有集合與函數的範疇 $\text{Sets}$、所有群與群態射的範疇 $\text{Groups}$
• Monoid $M$ 的Actions可以改寫成functor $M^{op} \to \text{Sets}$（事實上這類functor有個特殊名稱，叫做presheaf）
• 拓樸空間 $X$ 的所有開集之間的包含關係構成一個category $\text{Open}(X)$
• 遺忘functor，比如 $\text{Groups} \to \text{Sets}$、$\text{Rings} \to \text{Groups}$
• Free functor，像是集合生成free groups/vector space等
• 基本群可以視為從有點拓樸到群的functor $\pi_1 : \text{Top}_* \to \text{Groups}$
• vector space對偶可以視為functor $(-)^* : \text{vect}(\mathbb{k}) \to \text{vect}(\mathbb{k})$
• 從manifold構造它的ring of smooth functions可以看成functor $C_\infty : \text{Man} \to \text{Rings}$，定義為 $$C_\infty(\mathbb{M}) := \{ f : \mathbb{M} \to \mathbb{R} \mid f \text{ is smooth}\}$$

一個category是由一些morphisms構成的，每個morphism都有頭跟尾兩個標籤（這些標籤又叫做objects），例如 $f : A \to B$ 我們畫出直線並用一個點代表 $f$

當頭尾的標籤一樣的時候，我們可以把morphisms黏起來得到另一個morphism，例如 $g : A \to B$ 而 $f : B \to C$，那 $f \circ g$ 記成

有一類特殊的morphism $1_X : X \to X$，他們的標籤頭尾都一樣，跟其他任何morphism $f$ 組合都會是 $f$（如果可以組合）。這類morphism有個特定的名稱，叫做identity morphism，而且對於該標籤 $X$ 這樣的morphism只有一個。對於這樣的morphism，我們用直線表示它可被忽略

因為我們有等式 $f \circ 1_A = 1_B \circ f = f$

Functor是範疇之間的變換，例如 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 可以記成

Functor必須滿足 $F(f \circ g) = F(f) \circ F(g)$，但這件事在我們目前用的string diagram表示法裡面看起來像是廢話所以就不畫了。Natural transformation是functors之間的變換，例如 $\alpha : F \Rightarrow G$ 可以記成

Natural transformation必須滿足等式 $G(f) \circ \alpha_X = \alpha_Y \circ F(f)$，稱之為naturality

用string diagram繪製之後，naturality就像是在說：我們可以把串珠在線上移來移去而不會改變意義。因此這又叫「電梯等式」，我們當然沒有必要侷限在objects跟morphisms上，所以更通用的形式是

這種string diagram的語言在Introducing String Diagrams: The Art of Category Theory裡面有更多的介紹

Example 程式作為natural transformation [631K]

2026-07-14

如果一些類型構成category，可以用functor表示參數化類型。例如我們可以定義natural transformation $\alpha : \text{Maybe} \to \text{List}$ 為

$$\begin{aligned} &\alpha_X : \text{Maybe}(X) \to \text{List}(X) \\ &\alpha_X(\text{Nothing}) &= [] \\ &\alpha_X(\text{Some}\ x) &= [x] \end{aligned}$$

或是取出List中的最大值

這是在說先結合functor還是先結合natural transformation不改變結果

一些有趣的結果A Formal Proof that the Higher Fundamental Groups are Abelian

Adjunction $L \dashv R$ 是範疇論中重要的概念，它是由一對functors $L : \mathcal{C}\to\mathcal{D}$ 跟 $R : \mathcal{D}\to\mathcal{C}$ 與一對natural transformations $\eta : 1_\mathcal{C} \Rightarrow R \circ L$ 與 $\epsilon : L \circ R \Rightarrow 1_\mathcal{D}$ 組成。注意 $1_\mathcal{D}$ 這種functor我們會乾脆不畫線

Adjunction是可以串起來的

Example Limit與colimit [50LK]

2026-07-14

每個 $D : J \to \mathcal{C}$ 有limit可以表示成diagonal functor $\Delta : \mathcal{C} \to \mathcal{C}^J$ 有right adjoint $\lim : \mathcal{C}^J \to \mathcal{C}$。$\Delta$ 定義為 $\Delta(X)(j) := X$

對偶的來說，有colimit就是$\Delta$有left adjoint $\text{colim}$

還有一些其他案例

• Forgetful functor與free functor之間構成adjunction https://ncatlab.org/nlab/show/forgetful+functor
• Galois connection是一種adjunction https://ncatlab.org/nlab/show/Galois+connection

有個跟adjunction緊密聯繫的概念是monad，我們這邊直接看adjunction如何構成monad。給定 $L \dashv R$，有以下構造

因此 $R \circ L$ 是一個monad

偏數學的案例我目前只想得到adjunction構造的monad，在電腦科學裡面monad的用途是表示程式中的effects（參考 [Moggi1991]）

張量算術可以用Penrose notation（站上的用例），此外探討string diagrams的理論跟使用string diagrams的文獻都不少，這裡我列出一些

• Diagrammatic category theory，這篇要注意的是跟我們這裡畫的圖上下相反，是從下到上的箭頭
• Promonads and String Diagrams for Effectful Categories
• The free bifibration on a functor https://noamz.org/talks/ct2026.2026.07.13.pdf

範疇論當然不是只靠一篇文章就能學會的，如果讀者有興趣的話，以下是根據不同背景我認為可能有用的學習資源

• 沒怎麼學過數學？可以考慮The Joy of Abstraction: An Exploration of Math, Category Theory, and Life
• 想要知道範疇論在各個數學領域的案例可以參考Category Theory in Context
• 想要主修範疇論？那可以考慮Handbook of Categorical Algebra
• 你是軟體工程師，希望知道直覺上怎麼運用category theory？那Category Theory for Programmers還蠻適合的，但要注意Type Theory跟Category的關係遠不是這本書說的這麼單純。另外可以考慮讀Seven Sketches in Compositionality: An Invitation to Applied Category Theory了解更廣泛的應用範疇論

只是晚上睡不著？那也可以考慮Sketches of an Elephant